드로브니는 1921년 10월 12일 체코 프라하에서 태어나 5세 때 처음 라켓을 잡았다. 그는 볼보이로 활동하며 테니스 선수로 성장했다.

그가 태어난 구 체코슬로바키아는 사회주의 국가인 탓에 입출국 과정이 매우 까다로웠다. 이에 드로브니는 1950년 이집트 시민권을 취득해 이집트인으로 살아간다.

이집트 시민권을 취득한 후 드로브니는 그랜드슬램 정상에 3차례 올랐다.

1951년 프랑스오픈에서 생애 첫 그랜드슬램 우승을 기록한 드로브니는 이듬해에도 정상에 오르며 2년 연속 프랑스오픈 우승 타이틀을 거머쥐었다. 1954년 윔블던에서는 아프리카 국적으로는 처음으로 정상에 오르는 기쁨을 맛봤다.

 

제2차 세계대전 이후 1946년에 출전한 윔블던에서는 4강에서 탈락했지만 16강에서 미국 남자 테니스 강호 잭 크래머를 꺾었다. 크래머는 "올해(1946년) 윔블던에서 만난 선수 중 가장 힘든 상대였다. 나는 손에 물집이 잡혀서 골프 장갑을 착용해야 할 정도로 드로브니와 긴 시간 동안 대등한 경기를 펼쳤다"고 말했다.

 테니스 선수로 남긴 업적이 결코 작지 않았던 드로브니는 아이스하키 선수로도 활동해 이름을 알렸다.

1938년부터 11년 동안 구 체코슬로카비아의 아이스하키 리그에서 뛰었던 드로브니는 1947년 월드 아이스하키 챔피언십에서 금메달을 목에 걸었다.

 이듬해 스위스 생모리츠 동계올림픽에서는 아이스하키 대표팀의 은메달을 이끌었다. 아이스하키계에서 업적을 인정받은 드로브니는 1997년 국제아이스하키 명예의 전당에 헌액되기도 했다.

 드로브니의 트레이드 마크는 '안경'이었다. 과거 아이스하키를 하면서 당한 눈 부상으로 안경을 쓰게 된 드로브니는 윔블던 남자단식 우승자 중 안경을 쓴 첫 선수였다.

여자 선수로는 빌리 진 킹(미국)과 마르티나 나브라틸로바(미국)가 있다. 아서 애시(미국) 또한 안경을 쓰는 선수로 유명했지만 1975년 윔블던에서 우승하던 당시에는 콘택트 렌즈를 착용했다.

 드로브니는 1960년 가족과 함께 영국으로 이민을 간 후 선수 생활을 잠시 하다가 은퇴 후 스포츠 상점을 운영했다. 1983년 국제 테니스 명예의 전당에 헌액된 그는 2001년 9월 13일 79세의 나이로 세상을 떠났다.